三角形欧拉线定理证明_三角形欧拉线

1.已知三角形ABC的顶点是A(2,0),B(0,4)，三角形的欧拉线方程是x-y+2=0,则顶点C的坐标是多少？

2.三角形的四心的欧拉线

3.欧拉线的证法

4.三角形的五心及其几何性质，要有解释的。

5.三角形三条高的交点有什么性质

此题严格证明要有一些背景知识。欧拉线：://baike.baidu/view/145768.htm证明：考虑证原命题的逆否命题：非等腰三角形四心不会共线。因为外(O)、重(G)、垂(H)三心在欧拉线上，所以只须证明内心(I)不在欧拉线上。不妨设三边满足a情形①：∠C>90°，即△ABC为钝角三角形。如图：

∵BJ/JC=c/b>1，∴BJ>JC同理：AK>KC,AL>BL据此作图后知：内心I必定位于△DCG内。外心O在三角形外，且∠BFC∴∠OFG=∠OFB+∠BFC=90°+∠BFC∴欧拉线必然穿过△GFB和△GCE，除了G点与△DCG没有公共部分。∴内心I不在欧拉线上。情形②：∠C如图：

设角平分线BK、CL分别交欧拉线于点X和点Y。以下证明一个加强结论：内心必定位于四边形GDMH中，即在欧拉线下方。∵∠AFC>90°，∠BDA>90°，∠AEB>90°∴过三边中点D、E、F的垂线必定交于△F内部，即外心O在△F中。同理：垂心必定位于△CDG内部。同情形①：内心必定位于△CDG内部。又∵∠AOB=2∠ACB=2∠BOF∴∠ACB=∠BOF又∵∠ACB+∠CBN=∠OBA+∠BOF=90°∴∠OBA=∠CBN，同理∠BCP=∠ACO，∠BAO=∠CAM∴△ABC的角平分线BK平分∠OBH，同理CL平分∠OCH，AJ平分∠OAH∴OB/BH=OX/HX…………①,OC/CH=OY/HY…………②又∵BM>CM,∴BH=√(BM^2+MH^2)>√(CM^2+MH^2)=CH又∵OB=OC∴OB/BH两边同时加1得：OX+HX/HX∴HX>HY，点Y在线段HX上。∴CY的延长线与BX的交点必在BX线段内。而实际上，BX和CY的交点就是内心I。∴内心I在线段BX内。∴内心I必在四边形GDMH内部，不在欧拉线上。综上所述，非等腰三角形四心不共线。即：若三角形四心(O、I、G、H)共线，该三角形为等腰三角形。结论得证！

已知三角形ABC的顶点是A(2,0),B(0,4)，三角形的欧拉线方程是x-y+2=0,则顶点C的坐标是多少？

　　　　　　　　　　五心重心：三角形三条中线(顶点到对边中点的连线)的交点。垂心：三角形三条高(顶点到对边的垂线)的交点。内心：三角形三条内角平分线的交点。外心：三角形三边中垂线(垂直平分线)的交点。旁心：三角形一内角平分线和另两角的外角平分线的交点。(三角形只有五种心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　四圆

内切圆：以内心为圆心，以内心到边的距离为半径的圆，与三角形三边都相切。外接圆：以外心为圆心，以外心到顶点的距离为半径的圆，三角形三个顶点都在圆周上。旁切圆：以旁心为圆心，以旁心到边的距离为半径的圆，与三角形一边及另两边延长线相切。欧拉圆：以垂心与外心连线的中点为圆心，以外接圆半径之半为半径的圆，与三角形的内切圆、三个旁切圆均相切。又称“九点圆”，即三角形三边的中点、三高的垂足和三个欧拉点九点共圆。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　三点勒莫恩点：三条顶点与内切圆切点连线的交点，又称类似重心。奈格尔点：三条顶点与旁切圆切点连线的交点，又称界心。欧拉点：三个顶点与垂心连线的中点，又称费尔巴哈点。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一线欧拉线：外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线上，即外心、重心、九点圆圆心、垂心四点共线，这条直线称为欧拉线。(欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离之半)

三角形的四心的欧拉线

首先求出AB的中垂线方程，它与欧拉线的交点即为外心（－1，1）。由此可写出外接圆方程。c必在外接圆上，设C点坐标(Xo,Yo)，然后可得AC与AB中点m、n坐标，求出BM、CN方程，建立可得重心坐标X=(Xo+2)/3;Y=(Yo+4)/3代入欧拉线方程得方程1，与圆之方程2联立，可得C(-4,0).即得。

欧拉线的证法

非等边三角形的外心、重心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。其中，重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。 作△ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM，设AM交OH于点G’

∵ BD是直径

∴ ∠BAD、∠BCD是直角

∴ AD⊥AB，DC⊥BC

∵ CH⊥AB，AH⊥BC

∴ DA‖CH，DC‖AH

∴ 四边形ADCH是平行四边形

∴ AH=DC

∵ M是BC的中点，O是BD的中点

∴ OM= 1/2DC

∴ OM= 1/2AH

∵ OM‖AH

∴ △OMG’ ∽△H’

∴/GM=2/1

∴ G’是△ABC的重心

∴ G与G’重合

∴ O、G、H三点在同一条直线上

如果使用向量,证明过程可以极大的简化,运用向量中的坐标法,分别求出O G H三点的坐标即可. 设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心。连接并延长交BC于D, 则可知D为BC中点。连接OD ，又因为O为外心，所以OD⊥BC。连接AH并延长交BC于E,因H为垂心,所以 AE⊥BC。所以OD//AE，有∠ODA=∠EAD。由于G为重心，则GA:GD=2:1。

连接CG并延长交BA于F,则可知F为AB中点。同理，OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF

连接FD，有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。FD平行AC，所以∠DFC=∠FCA，∠FDA=∠CAD，又∠OFC=∠MCF，∠ODA=∠EAD，相减可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1所以OD:HA=GA:GD=2:1

又∠ODA=∠EAD，所以△OGD∽△HGA。所以∠OGD=∠H,又连接并延长，所以∠H+∠DGH=180°,所以∠OGD+∠DGH=180°。即O、G、H三点共线。 设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心.

则向量OH=向量OA+向量+OB+向量OC

向量OG=（向量OA+向量OB+向量OC）/3，

向量OG*3=向量OH

所以O、G、H三点共线

三角形的五心及其几何性质，要有解释的。

设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心。联结并延长交BC于D, 则可知D为BC中点。

联结OD ，又因为O为外心，所以OD⊥BC。联结AH并延长交BC于E,因H为垂心,所以 AE⊥BC。所以OD//AE，有∠ODA=∠EAD。由于G为重心，则GA:GD=2:1。

联结CG并延长交BA于F,则可知F为AB中点。同理，OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF

联结FD，有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。FD平行AC，所以∠DFC=∠FCA，∠FDA=∠CAD，又∠OFC=∠MCF，∠ODA=∠EAD，相减可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1所以HA:OD=GA:GD=2:1

又∠ODA=∠EAD，所以△OGD∽△HGA。所以∠OGD=∠H,又联结并延长，所以∠H+∠DGH=180°,所以∠OGD+∠DGH=180°。即O、G、H三点共线。 利用向量证明，简单明了

设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心.，D为BC边上的中点。

∵向量OH=向量OA+向量AH

=向量OA+2向量OD……………………………………………………………………（1）

=向量OA+向量OB+向量BD+向量OC+向量CD

=向量OA+向量OB+向量OC；

而向量OG=向量OA+向量

=向量OA+1/3（向量AB+向量AC）…………………………………………………（2）

=1/3[向量OA+（向量OA+向量AB）+（向量OA+向量AC）]

=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）.

∴向量OG=1/3向量OH，

∴O、G、H三点共线且OG=1/3OH。 还是向量做法，

设△ABC的外心，重心，垂心分别为O，G，H。作△ABC的中点三角形DEF

∵OD⊥AC

∴OD⊥EF

同理OE⊥DF，OF⊥DE

∴O是△DEF的垂心。

又EF∥AC，DF∥AB，DE∥BC且△ABC∽△DEF

∴向量HB=-2向量OD，向量HA=-2向量OF，向量HC=-2向量OE

∴向量HA+向量HB+向量HC=-2向量OD-2向量OE-2向量OF=-2向量OA-2向量OB-2向量OC

又向量BG=2/3向量BD=1/3（向量BA+向量BC）

同理向量CG=1/3（向量CA+向量CB），向量=1/3（向量AB+向量AC）

∴向量BG+向量+向量CG=向量0

向量HG=向量HA+向量=向量HB+向量BG=向量HC+向量CG

向量OG=向量OA+向量=向量OB+向量BG=向量OC+向量CG

∴3向量HG=向量HA+向量HB+向量HC，3向量OG=向量OA+向量OB+向量OC

∴向量HG=-2向量OG 如图所示，设AM为△ABC的中线，H、O分别是垂心和外心，连接AH、OM，则OM⊥BC，AH⊥BC

∴AH∥OM

连接OB、OC，易证∠BAC=∠BOC/2=∠COM

∴OM=OCcos∠COM=Rcos∠BAC（R是△ABC外接圆半径）

又连接BH并延长交AC於D，则BD⊥AC

∴AH=AD/cos∠CAH=ABcos∠BAC/sin∠ACB=2Rcos∠BAC

∴AH=2OM

设OH和AM交於G，则△AHG∽△MOG

∴:GM=AH:OM=2:1

∴G是△ABC的重心，即O、M、G三点共线，且GH:GO=:GM=2:1

三角形三条高的交点有什么性质

5.三角形共有六心：三角形的内心、外心、重心、垂心、欧拉线

内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。

性质：到三边距离相等。

外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。

性质：到三个顶点距离相等。

重心：三条中线的交点。

性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。

垂心：三条高所在直线的交点。

性质：此点分每条高线的两部分乘积

旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点

性质：到三边的距离相等。

界心：经过三角形一顶点的把三角形周长分成1：1的直线与三角形一边的交点。

性质：三角形共有3个界心，三个界心分别与其对应的三角形顶点相连而成的三条直线交于一点。

欧拉线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线

三角形三条高的交点叫垂心，垂心的性质：

1.三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2.三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。（此直线称为三角形的欧拉线（Eulerline））

3.垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

4.垂心分每条高线的两部分乘积相等。

扩展资料：

设△ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2

1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外.

2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；

3、垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。

4、△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。

5、H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。

6、△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。

参考资料：

百度百科——垂心